Мета: Повторити і
закріпити знання учнів з теми:
«Перпендикулярність прямих і площин у просторі»
Перевірити
вміння учнів застосовувати набуті знання до
розв’язування
вправ і задач. Сприяти активізації розумової
діяльності учнів, виникненню внутрішніх мотивів навчання.
Розвиток
швидкості, кмітливості, наполегливості.
Виховання
в учнів відповідальності за свої знання.
Прищеплювати
любов до математики.
Тип уроку: Узагальнюючий.
Обладнання: Роздатковий матеріал, малюнки, підручники,
додаткова література, схеми лабіринтів, пінопластова
основа, спиці для побудову просторових фігур, бумага,
ножиці, проектор, ноутбук.
Завдання різнорівневої складності – рівень стандарту.
Для іншого рівня завдання можна ускладнити.
Для того щоб удосконалити розум,
Треба
більше роздумувати, ніж заучувати.
Рене Декарт
Геометрія – правителька всіх розумових
Урок
проводиться у вигляді ГРИ - ПОДОРОЖІ. Подорожі у минулі часи
історії, у сьогодення з його науковими дослідженнями.
Мета подорожі пройти
складними, заплутаними ходами лабіринту,
Кожен крок вимагає своїх знань з
теоретичного матеріалу,
практичних навиків,
кмітливості.
Людина
Завжди звертала увагу на ті речі, які не могла пояснити. З давнини відомо, що
таємниці оточували людину скрізь. З часом невідоме становилося відомим, але і
сьогодні непізнане хвилює нас не менш, чим наших далеких предків. Наш світ
полон загадок, які сучасна людина не в змозі і сьогодні розгадати, дати
відповідь не дивлячись на досягнення науки і техніки.
Лабіринти - одна із складних, ще не
розв’язаних загадок історії. У різні часи
ці дивні витвори у формі печер, палаців
або споруд без покривалі, тощо
з’являлися скрізь, де мешкала людина.
Лабіринтами в давнину в Греції і Єгипті називали споруди зі складними
заплутаними ходами, в які легко потрапити і дуже важко вибрати. Уперше про один
з них повідомив давньогрецький історик Геродот ( близько 484 – 431 рр. до н. е.
).
В античності були відомі чотири лабіринти.
Єгипетський – На
схід від Арсіної, споруджений у ІІ тис. до н. е.
То був величезний
палац із гробницею та
підземними ходами.
Грецький -
на острові Самосі, збудований за наказом Полікрата.
В Італії - Його спорудив етруський цар
Порсенна, як
усипальню для царської
родини.
На острові Кріт –
Вважається найвідомішим лабіринтом. Його за
дорученням Міноса
спорудив Дедал для Мінотавра.
Конструкцією цей
лабіринт був подібний до
єгипетського. Він
представляв собою підземну
мережу тунелів, які
вели в оселю жахливого
людино бика –
Мінотавра.
МІФ
ПРО ЛАБІРИНТ
Про походження Мінотавра Аполодор
розповідає. Син Зевса і Європи, Мінос заради отримання
влади з рук богів просить
Посейдона у знак цього надіслати йому бика,
щоб він
міг принести його у жертву. Однак цього бика, надісланого Посейдоном з моря,
Мінос за його краси залишає у своєму стаді, а замість нього приніс у жертву
іншого. В покарання за це Посейдон робить бика безумним і заставляє жінку
Міноса Пасіфію, дочку Геліоса Персеіди закохатися в нього. Від цього кохання і
з’являється на світ Мінотавр – напівлюдина напівбик якого, згідно аракулу Мінос
заключає в лабіринт побудований афінським художником Дедалом.
В епоху середніх віків у Європі схеми
лабіринтів вимощували мозаїкою на
підлогах соборів. Навколо фортець у
давнину споруджували системи
валів у
формі
лабіринту, план якого знав тільки
володар фортеці. Такі споруди служили
для оборони і могли стати схованкою.
Лабіринти використовували й для покарання. Засуджених до смерті
відводили у лабіринт. Там, не знаючи його будови, приречений після марних
блукань гинув від голоду і спраги.
З поширенням християнства Стародавній
язичницький символ лабіринту поступово
змінився і став сприйматися як алегоричний
образ тернистого шляху людини до Бога або
хрестний шлях Христа. Таке трактування
символу лабіринту зумовила зміни в
в його дизайні. До ХІІ століття домінуючим у християнський традиції
стає лабіринт з одинадцятьма доріжками – це число для середньовічного
християнина символізувало поняття « гріх»
Накладання хреста поверх,
концентричних доріжок призвело до затвердження квадратної форми лабіринтів,
хоча найчастіше зберігалася і прихильність і класичної конфігурації.
Чудові лабіринти,
викладені кольоровим камінням, керамічною плиткою, мармуром, порфіром
прикрашали підлоги храмів багатьох соборів.
Відомо, що лабіринти в
соборах Шартра, Реймса. Аррас і Санса стали своєрідною імітацією паломницького
шляху в Палестину і часом називався « Шлях до Єрусалима». У ті часи для
більшості віруючих похід на святу землю був неможливим і вони здійснювали його
у символічній формі – проходили весь церковний лабіринт на колінах, читаючи
молитви.
З часом лабіринти втратили своє
релігіозно – містичне значення.
Великі
географічні відкриття,
успіхи природничих наук, виникнення
вчення про множинність світів –
все
це відбилося на філософському
сприйнятті лабіринту – символу
Всесвіту і людського життя. Поступово зникають лабіринти, в яких все
заздалегить зумовлено і шлях можливий тільки по одній раз і назавжди
прокладений доріжці. На зміну їм
приходить все більш складні, з численними варіантами проходів, де людина сама
обирає шлях серед заплутаних стежок і глухих кутів.
Подібні лабіринти з живої огорожі сталі
неодмінно деталлю багатьох садів і парків Європи, перетворившись у вельми
популярні розваги для аристократії. Влаштовані в парках і на туристських
маршрутах, вони пропонують захоплюючи інтелектуальні розваги, випробування на
кмітливість і удачливість.
ВІДЕОРОЛИК 10 Вражаючих лабіринтів
Найбільшого
поширення набули лабіринти
головоломки. Уже діти давніх греків і римлян
заповнювали дозвілля такими розвагами, про що
свідчить креслення, виявлене на стіні одного
з будинків міста Помпеї,
засипаного попелом
під
час виверження вулкана Везувія
З
того часу і до наших днів ідея лабіринту стає в цікавій математиці все
змістовнішою, збагачується новими мотивами задач. Урізноманітнюються самі
лабіринтів,з’являються числові, об’ємні й інші лабіринти де в несподіваних
формах розвивається ідея, відтоки якої губляться в прадавніх часах.
Лабіринти широко застосовуються
в
науці і техніці. Психологи за їх допомо-
гою
вивчають поведінку людей і тварин у
повторювальних або екстремальних
ситуаціях.
Кібернетикам лабіринти допомагають конструювати ЕОМ, зокрема роботів, які
здатні до самонавчання. Такі експерименти першим провів американський математик
Клод Шенон; кібернетичні миші вченого за певними алгоритмами могли вибратися із
найзаплутаніших лабіринтів.
До розв’язування
лабіринтних задач можна застосовувати
елементи теорії графів. Теорія лабіринтів і графів належить до топології -
математичної дисципліни, яка вивчає властивості фігур, інваріантні відносно
всіх неперервних і взаємно однозначних перетворень.
Важливо
підкреслити, що лабіринт
являє собою не просто архітектурну
форму, а виступає у ролі приладу,
інструменту, активно взаємодіє з
планетарними енергіями і інформа -
ційними полями, з психікою і енергію працюючою з ним людиною.
Дослідження показали, що лабіринт може виконувати слідуючи функції.
► Ряд лабіринтів може функцюювати в якості
гіперпросторового тунелю, який з’єднує нашу реальність з іншими тонко
матеріальними світами. У древніх джерелах сказано про можливість використання
лабіринтів для одержання інформації з минулого
і майбутнього, зв’язку з іншими місцями Землі. Саме в цій якості
використовувалися більшість лабіринтів і давнині. В якості прикладу можна
привести єгипетські водні лабіринти, які служилі для переміщення душ померлих у
загробний світ.
► Також
існували різні лабіринти, які використовувалися для зв’язку шамана з
світом духів. Як правило, такій тунель функцюював на тонкому матеріальному
рівні, тобто він прозорий для інформаційних полів і вихрових польових утворень,
наприклад тонкого тіла людини. Однак у древніх текстах можна знайти згадки про
можливість переміщення щільних фізичних об’єктів і навіть живих істот через
подібні лабіринтні тунелі.
► Нарешті лабіринт може виступати в якості
своєрідного дренажного отвору, що начебто викидає, викачує ентропійні частинки
з нашої реальності в інші світи, одночасно доставляючи нові в наші. В цій якості він також працює як екологічний
прилад.
► Сьогодні сучасна медицина вже використовує
лабіринт у якості ефективного методу психотерапії як це роблять у California Pacific Medical Center
Найбільшого поширеними формами древніх
лабіринтів є різні спіралі, хрести і свастики.. Геометричні форми лабіринту
також мають свої особливості. Як правило, розглядають 2 – мірні лабіринти.
Однак відомі і 3- мірні і навіть багатомірні лабіринти. Більш того, частина
коридорів може бути розміщена за границею нашого фізичного простору.
У
лабіринті людина не губить себе
У
лабіринті людина знаходить себе
У
лабіринті людина зустрічається не з Мінотавром
У
лабіринті людина зустрічається сама з собою.
НІТЬ АРІАДНИ
В одному з найчарівніших
давньогрецьких міфів розповідається про
лабіринт крітського царя Міноса. Цю споруду вважають одним з семи чудес
світу.
У лабіринті Мінос переховував чудовисько, яке живилося людським
м’ясом – юнаків та дівчат.
Син афінського царя Егел,
сміливий Тезей, вирішив звільнити рідне місто від кровавої данини. Разом з
юнаками і дівчатами, приречений на жертву, він поплив на острів Крит. Дочка
Міноса, Аріадна, полюбила героя і взялася допомогти йому. Вона вручила Тезею меч і клубок ниток. Закріпивши
кінець нитки біля входу, Тезей блукаючи в лабіринті, розмотував нитку, чим
позначав пройдений шлях. Герой зустрів чудовисько і в тяжкому поєдинку вбив
його, а за ниткою Аріадни знайшов вихід із зачарованого палацу.
ПРАВИЛО РУКИ
Однім із самих простих правил
проходження лабіринту є правило одної руки: рухаючись по лабіринту, потрібно
увесь час торкатися правою або лівою рукою його стіни. Цей алгоритм був відомий
ще древнім грекам. Прийдеться пройти довгий шлях, заходячи у всі тунелі, але
решті решт ціль буде досягнута. Але у цього правила є один недолік: його
застосовують тільки для однозв’язних лабіринтів, у яких немає замкнутих
маршрутів., по якім можна вертатися в початкову точку.
Універсальний алгоритм проходження любих
лабіринтів був описаний у книзі
французького математика Е. Люка у 1882 році. Цікаво що Люка при описі алгоритму
вказав на першість другого французького математика М. Тремо. Таким чином
алгоритм відомий як Люка – Тремо. Трема пропонує таке правило:
Виходячи з любої точки
лабіринту, потрібно зробити відмітку на його стіні (хрест ) і рухатися у любому
напрямку до тупика або перехрестя; у першому випадку вернутися назад, поставити
другий хрест, який свідчить, що шлях пройшли у друге – туди і назад, і іти у
напрямку який ще не проходили, або який пройшли раз; у другому – іти по любому
напрямку, відмічаючи кожне перехрестя
на вході і виході одним
хрестом; якщо на перехресті один хрест вже є, то потрібно іти новим шляхом,
якщо немає – то пройденим шляхом, відмітивши його другим хрестом.
► В давнину зображення
лабіринту вважали чудовим оберегом. Так
індіанське плем’я тохоно і піма з американського штату Арізона і сьогодні,
як і тисячу років тому, плетуть корзини з сухих стеблів, коренів і листів
рослин, що ростуть у пустелі і прикрашають їх візерунком – лабіринту з метою
захистити себе.
► В Пакистане і Ісландії символи лабіринту вирізають на самому
високому дереві у саду, щоб відлякувати красунів.
► У Шрі Ланці візерунок лабіринту
вплітають у тканину для ковдр і в основу
вербових корзин.
► У Скандінавії і Індії викладають лабіринт з каменів у пустельних
місцях або на узбережжі, якщо бажають виконання свого заповітного бажання. Але
тут є своє НО. Вважають, що лабіринт в обмін на здійснену мрію забирає у людини
сім років життя.
► Вирушаючи у небезпечне
місце, можна попробувати намалювати візерунок лабіринту на долоні, і біда
обійде стороною.
► У лабіринт не беруть дітей
до семі років і стариків, якім вже за 70 років. Лабіринт начебто може відняти
душі тих і других.
► Не ідуть у лабіринт жінки у
положенні, є прикмета, що дитина може заплутатися у пуповині.
► Злих духів, які знаходяться
у лабіринті можна обманути, якщо надіти на себе чужі речі. Так, якщо ви
заблукали у лабіринті, обміняйтеся зі своїм супутником одягом, і вихід скоро
знайдеться.
► У переходах лабіринту і на
його фоні бажано не фотографуватися, можуть початися неприємності у житті
і
проблеми з памят”ю та зором.
► Якщо стоячи у центрі
лабіринту. Загадати бажання, а потім швидко знайти вихід, можете рахувати що
ваше бажання швидко виконається.
► Що запобігти підступності
лабіринту, потрібно залишити яку – небудь річ у дар, наприклад, кинути монету.
Практична частина уроку
Сьогодні, як і в давнину це
робили греки та римляни, ви пройдетеся ходами лабіринту. Під час проходження ви
повторите і закріпите свої знання з теми « Перпендикулярність прямих і площин у
просторі». Прогуляєтеся по лабіринту своєї півсвідомості, оцінити свої
можливості, своє мислення.
Вам потрібно
► Одержати
сигнальні маячки, завдяки яким ми будемо знати про ваше місцезнаходження у
лабіринті.
► Всім пройти ходами
лабіринту і дійти до центру.
► Вийти з лабіринту.
► На вузлових точках ( цифрах
) потрібно кожному опрацювати певне завдання, щоб можна було рухатися далі.
Завдання будуть різної складності. Кожен обирає собі сам рівень.
► Як саме ви будете рухатися
у лабіринті визначаєте самі перед початком руху. Ви можете іти групою, або по
одинці, вам вирішувати.
► Якщо рухаєтеся по лабіринту
групою, то вирушати далі можна тільки після того, як зроблено завдання у кожного.
► Кожному з вас дається так званий світок, якій
буде заповнюватися у процесі вашої ходи по лабіринту.
► При опрацюванні завдань можливі такі варіанти:
а) ви розв’язуєте завдання
пола гаючись тільки на свій розум, свої знання, свою пам'ять ( рівень оцінювання при цьому найвищий )
б) ви можете користуватися « Науковим відділом» - додатковою
літературою, допомогою однокласників. але при цьому ви берети при кожному
зверненні жетон для підбиття підсумків проходження лабіринту. Рівень оцінювання
при цьому нижчий.
в) розв’язувати задачи ви можете у нашій лабораторії, користуючись
допоміжними приладами.
г) після опрацювання завдань кожен проходить контроль для
подальшого руху у перед.
Цифра 1 дозвіл на вхід у лабіринт.
1.
Що
вивчається в стереометрії?
2.
Назвіть
аксіоми стереометрії.
3.
Скільки
випадків перпендикулярності і які розглядають у стереометрії?
Цифра 2
Тести
1. Дві
прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює….
А) 30° Б) 120° В) 180° Г) 90°
2. Відрізки називають перпендикулярними, якщо
вони
належать …
А) паралельним прямим;
Б) мимобіжним прямим;
В) перпендикулярним прямим;
Г) інша відповідь.
3. Якщо пряма а перпендикулярна до площини β,
а площина α паралельна прямій а, то площина α і β …
А) паралельні;
Б) перпендикулярні;
В) паралельні чи збігаються;
Г) можуть розміщуватися як завгодно.
4. Скільки площин проходить через дану точку
простору перпендикулярно до даної
прямої?
А) жодної; В) безліч;
Б) одна; Г)
відповідь залежить
від розміщення
точки.
5. Дано куб АВСДА1В1С1Д1.
Чому дорівнює кут між площинами АА1
В1 і В1С1Д1?
А)
45°; Б) 90°; В) 60°;
Г) інша відповідь.
Цифра 3
1. Якщо пряма
перпендикулярна до однієї з двох паралельних
прямих, то вона …
2.Прямі АВ, АС
і АД попарно перпендикулярні.
Знайдіть відрізок СД, якщо
1) АВ=3 см, ВС=7см,
АД=1,5 см.
Цифра 4 Тести
1. Похила
SА більша від похилої SB, а похила SC менша від похилої SB. Яка з
похилих утворює найменший кут із площиною α
а) SА Б)SВ В) SС Г) Визначити неможливо
2. Рівносторонній
трикутник АВС перегнули по медіані ВК. Кут між площинами АВК і ВСК дорівнює …
А)
β В) 180°-α Б) α
Г) α чи 180°-α
Цифра 5
1.Назвіть властивості
прямої і площини, перпендикулярних між собою.
………………………………………………………………………………..
2. Задача. Через вершину А
прямокутника АВСД
проведено
пряму АК, перпендикулярну до його площини. Відстань від точки К до решти
вершин прямокутника дорівнюють 6 м, 7 м і 9 м. Знайдіть відрізок АК. (
Розв’язати за готовими записами з пропусками)
Цифра 6
1. Укажіть
найважливіші властивості перпендикуляра, похилої та її проекції на
площину.
2. Задача. З точки А до площини α проведено
перпендикуляр АС=40 см і
похилу АВ=50 см.
Знайдіть довжину проекції
похилої.
…………………………………………………………………………………
2.
Відрізки ОА = 15
см. ОВ = 20см. ОС = 35см. Попарно перпендикулярні. Знайдіть
площу трикутника АВС.
Цифра 7
1. Яку
пряму називають перпендикулярною до площини?
2. Сформулюйте
ознаку перпендикулярності прямої і площини.
3. Дано
зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Укажіть
пряму, яка перпендикулярна до прямої АА1 і
проходить через точку С.
…………………………………………………………………………………
4. СДЕК –
квадрат зі стороною, що дорівнює 2см.
ВД перпендикулярно ( СДЕ).
Знайдіть відстань від точки В до площини
СДЕ, якщо ВК =
см.
А) 8
см. Б) 6 см. В) 8 см. Г)6
см.
Цифра 8
1.
Які площини називаються
перпендикулярними?
2.Задача. У прямокутному паралелепіпеді АВ = 1см, АД = 2см, ВС = 3см. Знайдіть: а) діагональ ВД грані прямокутного
паралелепіпеда. б) довжину ребра
АС, в) діагональ ДС.
Цифра 9
1.
Зобразіть ортогональне проектування фігури на дві площини: а) на горизонтальну, б) на вертикальну.
Цифра 10
1.
Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.
2. Задача. Через точку О перетину діагоналей прямокутника АВСД
проведено перпендикуляр МО. Знайдіть МО,
якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см, МА = 13 см.
а) 10 см. б)
11см. в) 12 см. г) визначити неможливо.
Цифра 11
1. Відомо, що різні прямі
а і в перпендикулярні до площини β.
Як розміщені прямі а і в?
А) перетинаються, в) паралельні
Б) мимобіжні, г) перпендикулярні.
2. Задача.
Верхні кінці двох вертикальних
стовпів, які знаходяться на відстані 3,4 м
один від одного, з’єднано поперечкою. Висота одного стовпа 5,8 м, а
другого 3,9 м. Знайдіть довжину поперечки.
Цифра 12.
1. Дано
площину α і точку А поза нею. Проведіть через точку А пряму, яка була б
перпендикулярна до площини α.
2. Задача. Через
вершину гострого кута прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено
пряму АД, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань від точки Д
до вершині В і С, якщо АС = а, ВС = в, АД = с. ( Розв’язати за готовими
записами з пропусками)
Цифри 13/17
1. Скільки пар перпендикулярних площин можна
провести через дві паралельні прямі?
2. Точка
К лежить поза площиною трикутника АВС,
причому кут К = 90, кут САВ = 90 Які з
вказаних тверджень правильні?
а) Пряма КА перпендикулярна
до площини АВС.
Б) Пряма АВ перпендикулярна
до площини КАС.
В) пряма АС перпендикулярна
до площини КАВ.
Г) Пряма ВС перпендикулярна
до площини АКС.
Цифра 14/16
1. Дано площину α і точку А на
ній. Проведіть через точку А пряму, яка була б перпендикулярна до площини α.
2. Чи
можна через дві перпендикулярні прямі провести площини, які перетинаються під
кутом 30 ?
Цифра 15.
1.
Задача. Знайдіть довжину проекції
відрізка АВ на площину α, якщо АВ = 9см, а пряма АВ нахилена до площини α під
кутом 30.
Додаткові завдання
1 Від 1 до 9 можна рухатися тільки або вправо,
або вниз. Виконуючи цю умову, прокладіть такій маршрут, щоб сума пройдених
чисел складала 100
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
16
|
17
|
18
|
19
|
6
|
15
|
24
|
25
|
20
|
7
|
14
|
23
|
22
|
21
|
8
|
13
|
12
|
11
|
10
|
9
|
2.
Яку цифру потрібно
вставити
замість знака
питання?
3.
Перекладіть одну цифру так, щоб одержати правильну
рівність
4.Спробуйте знайти значення фігур, використовуючи підказки
5.
568
71 4 103
236 = 1000
24
68 15 9
70 = 1000
203
65 64 168
9 = 1000
Вставте
між числами знаки арифметичних дій щоб одержати 1000.
Виконувати
дії потрібно у порядку їх запису, тобто не давати пріоритету діям множення чи
ділення.
Відповідь
568/71+4*103-236=1000
24+618*15/9-70=1000
203-65*64+168/9=1000
24+618*15/9-70=1000
203-65*64+168/9=1000
Підсумок
Наше життя – це складний лабіринт з тисячами ходів і
одним – єдиним виходом. Ми думаємо, що наше життя особливе, що у інших воно не
таке. Насправді лабіринт для всіх спільний, тільки система ходів інша…
Хтось проходить складну дорогу, у когось все прямо і
просто. Хтось знаходить скарб, а хтось залишається з ні чим …..
Отже, нам є над
чим подумати. Я, гадаю, ніхто з вас не хотів би блукати темними ходами
лабіринту і не отримати нічого у житті.
Тому, розпочніть
вже сьогодні – визначте цілі, дії що до їх досягнення, аби отримати
максимальний результат.
Почніть робити саме
необхідне,
Потім зробіть те,
що ви можете
І у результаті ви
побачите, що робите неможливе.
Франциск Ассизский.
Домашнє завдання
1. Повторити теоретичний матеріал з даної теми
2. Скласти задачу за цією темою і розв’язати її.
Додаток
Лабіринт, який використовується під час
уроку
Немає коментарів:
Дописати коментар